PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN LÀ GÌ, NGHĨA CỦA TỪ SAI PHÂN TRONG TIẾNG ANH

      333

I.

Bạn đang xem: Phương trình sai phân là gì, nghĩa của từ sai phân trong tiếng anh

Các định nghĩa cơ bản 1. Hàm số đối số nguyên ổn Hàm bao gồm tập khẳng định nằm trong Z điện thoại tư vấn là hàm số gồm đối số nguyên. Ký hiệu y = f(n). Ví dụ: f(n) = n2 + n – 1 f(n) = n3 + 1 f(n) = sina (a là hằng số) 2. Định nghĩa không đúng phân: Sai phân của hàm số Un là chênh lợi nhuận trị của hàm số trên nhì giá trị kế tiếp nhau. Ký hiệu: ΔUn = Un +1 - Un Sai phân cấp cho m của hàm số Un là không đúng phân của sai...


*

CHƢƠNG VI : PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂNI. Các định nghĩa cơ bản1. Hàm số đối số nguyênHàm bao gồm tập xác định thuộc Z Gọi là hàm số gồm đối số nguyên.Ký hiệu y = f(n). f(n) = n2 + n – 1Ví dụ: f(n) = n3 + 1 f(n) = simãng cầu (a là hằng số)2. Định nghĩa không đúng phân:Sai phân của hàm số Un là chênh lệch giá trị của hàm số trên nhì giá trị kế tiếp nhau. Ký hiệu: ΔUn = Un +1 - UnSai phân cấp m của hàm số Un là không đúng phân của không đúng phân cấp cho m-1 của hàm số đó : ΔmUn = Δ(Δm-1Un )= Δm-1Un +1 - Δm-1UnChẳng hạn không nên phân cấp 2 được tính :Δ2Un = Δ(ΔUn )= ΔUn +1 – ΔUn= (Un +2 - Un+1 )- (Un +1 – Un ) = Un +2 -2 Un +1 + UnTương trường đoản cú ta có thể trình diễn ΔmUn qua Un , Un+1,..., Un+mI. Phƣơng trình sai phân Định nghĩa : là PT với hàm số yêu cầu kiếm tìm là 1 trong hàm đối số tách rộc rạc f (n) = Un bao gồm mặtdưới dạng sai phân các cấp.PT sai phân cấp cho m gồm dạng tổng quát : G(n, Un, ΔUn, Δ2Un,..., ΔmUn) = 0Hay hoàn toàn có thể viết bên dưới dạng : F(n, Un, Un+1,..., Un+m) = 0Nghiệm của PT sai phân là hàm số đối số rời rạc Un =f(n) cơ mà lúc nạm Un = f(n), Un+1=f(n+1),..., Un+m =f(n+m) ta được một đồng điệu thức bên trên tập hòa hợp những số nguim n0.Nghiệm bao quát của một PT không nên phân cấp n tất cả dạng : Un =f(n, C1, C2,...,Cn) vào đóC1, C2,...,Cn là những hằng số bất cứ, Khi gán cho mỗi kí tự C1, C2,...,Cn một số trong những xác địnhta được một nghiệm riêng của PT.PT sai phân Ôtônôm là PT tất cả dạng Un+m = f(Un, Un+1,..., Un+m-1) 1II. Phƣơng trình không đúng phân tuyến đường tính1. Phương thơm trình không đúng phân con đường tính cấp cho 1Định nghĩa: Là phương trình bao gồm dạng: anUn+1 + bnUn = fn (1)Trong số đó an, bn, fn là các hàm đối số nguyên ổn. Un và Un+một là hai cực hiếm kề nhau của hàmUn đối số nguim cần search.Nếu an cùng bn là các hằng số thì ta gồm pmùi hương trình không nên phân thông số hằng.Phương trình anUn+1 + bnUn = 0 (2) Call là phương thơm trình thuần độc nhất vô nhị khớp ứng của (1).Ví dụ:Một khách hàng tất cả số tiền là A đồng, lấy gửi tiết kiệm ngân sách và chi phí, lãi xuất mỗi tháng là 1%.Lập mô hình về tình trạng chi phí vốn của người tiêu dùng. 1Ta gồm un+1 = un + 100 un = 1,01.un un+1 – 1,01.un = 0, u0 = A2. Phương thơm trình không đúng phân cấp cho caoa. Phương thơm trình không nên phân cấp cho 2Dạng : an.un+2 + bn.un+1 + cn.un = fnNếu an, bn với cn là các hằng số thì ta gồm phương thơm trình không nên phân hệ số hằng.Nếu fn = 0 thì ta tất cả phương thơm trình thuần tốt nhất liên kếrã.un+2 + bn.un+1 + cn.un = 0Nếu U*n là một trong những nghiệm của PT sai phân tuyến tính không thuần tuyệt nhất với U1n, U2n là 2nghiệm chủ quyền tuyến đường tính của PT thuần tuyệt nhất links thì nghiệm bao quát của PT là : U = U*n+ C1U1n + C2 U2nVí dụ:Ngày 01/ 01/ 1202, Giáo hoàng La Mã mang lại Fibonacci một bài xích tân oán như sau: “Hômni, fan ta khuyến mãi tôi một cặp thỏ. Biết thỏ nhị tháng tuổi bước đầu đẻ và kế tiếp mỗimon đẻ một lứa, từng lứa là 1 cặp thỏ. Hết năm, tôi có từng nào cặp thỏ ?”Giải: hotline Fn là số cặp thỏ dành được ở tháng sản phẩm n.Tháng trước tất cả Fn-1 cặp, trong các số ấy chỉ có số thỏ tháng trước nữa là đẻ Fn = Fn-1 + Fn-2 với F1 = 1, F2 = 1.b. Pmùi hương trình không nên phân cung cấp kLà phương thơm trình có dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = fn 2III. Phƣơng trình không nên phân đường tính cung cấp 1 thông số hằng1. Pmùi hương trình sai phân tuyến tính thuần nhất Nghiệm tổng quát : Un = C(- p) n Dạng Un+1 + pUn = 0 Un+1 = - pUnVí dụ:Năm 1990 số lượng dân sinh Hà Nội là một trong những,6 triệu người, vận tốc tăng số lượng dân sinh là 1% 1 năm. Hỏisố lượng dân sinh Thành Phố Hà Nội năm 2050 là bao nhiêu?Giải: gọi un là dân sinh TP Hà Nội năm thứ n + 1990 1Ta có un+1 = un + 100 un = 1,01.un un = u0.(1,01)n.Có u0 = 1,6 triệu u60 = 1,6.(1,01)60 2.91 triệu.2. Pmùi hương trình không nên phân tuyến đường tính không thuần nhấtDạng Un+1 + pUn = q (1) cùng với q 0. PT thuần nhất links Un+1 + pUn = 0 (2).Định lý :Nếu U*n là 1 trong những nghiệm của PT không nên phân con đường tính ko thuần nhất (1) với U1n là mộtnghiệm của PT thuần tốt nhất links (2) thì U1n+ U*n là nghiệm của PT (1). Nghiệm tổng quát của (1) dạng Un= U*n + C(- p) nTa tìm kiếm nghiệm riêng biệt của (1) : q+) Nếu p -1 nghiệm riêng là U*n = 1p U*n+) Nếu p = -1 nghiệm riêng là = qn.IV. Phƣơng trình sai phân tuyến đường tính cấp cho 2 thông số hằng1. Phương trình không đúng phân đường tính thuần nhất :Xét phương trình: Un+2 + pUn+1 + qUn = 0 (3)Bổ đề 1: Nếu xn, yn là nghiệm của (3) thì A.xn + B.yn (A, B : const) cũng là nghiệm của (3).Chứng minh:Ta có: (A.xn+2 + B.yn+2) + p.(A.xn+1 + B.yn+1) + q.(A.xn + B.yn) = A(xn+2 + p.xn+1 + q.xn ) + B(yn+2 + p.yn+1 + q.yn ) = 0 3Định nghĩa: x0 x1Nếu 0 thì xn cùng yn độc lập đường tính y0 y1Bổ đề 2: Nếu xn, yn là nghiệm riêng rẽ hòa bình tuyến đường tính của (3) thì Un = A.xn + B.yn lànghiệm bao quát của (3).Chứng minh:Gọi Un là 1 trong nghiệm bất kỳ của (3). Ta chứng minh rằng sống thọ Au và Bu làm sao cho Un = Au.xn + Bu.yn(Au, Bu là các hằng số phụ thuộc vào un). Ax0 + By0 = U0 Hệ phương trình Ax1 + By1 = U1Có nghiệm độc nhất Au cùng Bu. U2 = p.U1 + q.U0 = Aux2 + Buy2.Chứng minc bởi quy nạp, ta bao gồm Un = Au.xn + Bu.yn hầu hết nghiệm của (3) phần đông trình diễn qua xn với yn đ.p.c.mTa search nghiệm riêng rẽ bên dưới dạng xn = λn (λ 0).

Xem thêm: Phần Mềm Theo Dõi Chứng Khoán Trên Máy Tính, Phần Mềm Theo Dõi Chứng Khoán

Ttốt vào (3), ta có: λn+2 + p.λn+1 + q.λn = 0 λ2 + pλ + q = 0 (4).Pmùi hương trình (4) call là phương trình đặc trưng của (3).Trường phù hợp 1: Nếu (4) có nhị nghiệm thực biệt lập λ1 cùng λ2 (3) gồm nhị nghiệmriêng biệt hòa bình con đường tính xn = λ1n với yn = λ2n .Nghiệm bao quát Un = C1 λ1n + C2 λ2nTrường vừa lòng 2: Nếu (4) gồm nghiệm knghiền là λ0, (3) gồm nhì nghiệm riêng biệt độc lập tuyếntính xn= λ0n và yn = n.λ0n .Nghiệm tổng thể Un = (C1+ nC2) λ0n p .iTrường đúng theo 3: Nếu (4) bao gồm hai nghiệm phức λ1,2 = =A Bi 2 B p ) với với r = A2 + B2 và α = arctgA .(A = ,B= 2 2 λ1,2 = r(cosα i.sinα)PT (3) gồm nhì nghiệm riêng chủ quyền đường tính là xn = rn.cosnα cùng yn = rn.sinnαNghiệm tổng thể Un = rn . 4lấy một ví dụ 1: Tìm nghiệm un+2 = 5un+1 + 6un biết u0 = 1, u1 = 0Bài làm:Pmùi hương trình sệt trưng: λ2-5λ + 6 = 0 λ1 =1 và λ2 = 2Vậy nghiệm tổng thể un = A + B.2n. u0 = A + B = 1 Hệ phương trình u 1 = A + 2B = 0 A = 2 với B = -1. nVậy nghiệm riêng rẽ thỏa mãn là un = 2 – 2 5Ví dụ 2: Tìm nghiệm un+2 = 2 un+1 - un biết u0 = 0, u1 = 1 5 1Bài làm: Phương thơm trình quánh trưng: λ2- 2 λ+1 = 0 λ1 = 2 và λ2 = 2 1Vậy nghiệm tổng thể un = A 2n + B.2n. u0 = A + B = 0 Hệ pmùi hương trình A 2 2 u1 = 2 + 2B = 1 A = -3 v à B = 3 . 2Vậy nghiệm riêng đề nghị search là un = 3 (2-n – 2n)ví dụ như 3: Tìm nghiệm un+2 = 10un+1 - 25unBài làm:Phương thơm trình sệt trưng: λ2- 10λ + 25 = 0 λ1 = λ2 = 5Vậy nghiệm bao quát un = (A + Bn)5nví dụ như 4: Tìm nghiệm un+2 - 2un+1 + un = 0 biết u0 = 1, u1 = 2Bài làm:Phương thơm trình đặc trưng: λ2- 2λ+1 = 0 λ1 = λ2 = 1Vậy nghiệm tổng quát un = A + Bn u0 = A = 1 Hệ pmùi hương trình u1 = A + B = 2 A = B = 1.Vậy nghiệm riêng yêu cầu tìm là un = 1 + nlấy ví dụ như 5: Tìm nghiệm un+2 - un+1 + un = 0Bài làm: Phương thơm trình đặc trưng: λ2- λ+1 = 0 3 2 1 i3 1 3 (2)2 + ( 2 )2 = 1, tgα = 1 = 3 λ1,2 = ,r= 2 2 5 α=3 λ1,2 = cos 3 i.sin 3 n. n.Vậy nghiệm tổng thể un = Acos 3 + Bsin 3ví dụ như 6: Tìm nghiệm un+2 - 2un+1 + 4un = 0, u0 = u1 = 1Bài làm:Pmùi hương trình đặc trưng: λ2- 2λ+4 = 0 12 +( 3 )2 = 2, tgα = 3 λ1,2 = 1 α=3 λ1,2 = 2(cos3 i. 3 , r = i.sin3 ) n. n.Vậy nghiệm tổng thể un = 2n(Acos 3 + Bsin 3 ) u0 = A = 1Hệ pmùi hương trình u1 = 2(cos3 + Bsin3 ) = 1 A = 1 cùng B = 0. n.Vậy nghiệm riêng biệt phải tra cứu là un = 2n.cos 32. Phương trình không đúng phân con đường tính không thuần độc nhất Dạng Un+2 + pUn+1 + qUn = r (5) (r 0)Ta tìm kiếm nghiệm riêng U*n của (5) : ? r+) Nếu p+q -1 thì nghiệm riêng rẽ là : U*n = 1pq+) Nếu p+q = -1 rn Khi p -2 thì nghiệm riêng biệt là : U*n = p2 rn 2 * Khi p = -2 thì nghiệm riêng rẽ là : U n = 2Từ nghiệm của PT thuần tuyệt nhất link ta suy ra nghiệm bao quát của (5).Trường hợp Un+2 + pUn+1 + qUn = f(n) ta xét ngơi nghỉ dạng tổng quát đến PT không đúng phân tuyếntính hệ số hằng cung cấp k.V. Phƣơng trình không nên phân đường tính cấp cho k thông số hằng.1. Phương trình không nên phân đường tính thuần độc nhất cấp k thông số hằng:Là phương trình có dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = 0 (6)Trong số đó a0, a1, …, ak là các số thực. 6Ta tra cứu nghiệm riêng biệt bên dưới dạng Un = λn, thay vào (6) ta bao gồm pmùi hương trình quánh trưng:ak.λk + ak-1.λk-1 + … + a0.λ = 0 (7)Trường phù hợp 1: Nếu (7) có k nghiệm thực phân minh λ1, λ2, … λk ta có k nghiệmriêng tự do tuyến đường tính x1n = λ1n, … xkn = λkn .Nghiệm tổng quát : Un = C1. λ1n + C2. λ2n + … + Ck. λknTrường phù hợp 2:Nếu (7) có nghiệm bội, ví dụ điển hình λ1 bao gồm bội s với k-s nghiệm thực phân biệt:λ1 = λ2 = … = λs , ta thay thế s nghiệm riêng rẽ x1n, x2n, …, xsn tương ứng bằng: x1n = λ1n,x2n = nλ1n, … , xsn = ns-1.λ1n.Nghiệm tổng thể : Un = (C1+n C2 + … + ns-1Cs) λ1n + Cs+1 λ1n+...+ Ck. λknTrường phù hợp 3: Nếu phương thơm trình (7) gồm nghiệm phức, chẳng hạn λ1 = r(cosα +i.sinα)thì sẽ sở hữu nghiệm phức liên hợp λ2 = r(cosα - i.sinα) và k-2 nghiệm thực tách biệt, khiđó tương xứng ta sửa chữa thay thế x1n = rn.cosnα và x2n = rn.sinnα trong nghiệm bao quát.Nghiệm tổng quát : Un = rn + C3. λ3n … + Ck. λknví dụ như 1: Tìm nghiệm un+3 – 10un+2 + 31un+1 - 30un = 0.Bài làm: Phương thơm trình đặc trưng: λ3 -10λ2 + 31λ -30 = 0 λ1 =2, λ2 = 3 cùng λ3 = 5Vậy nghiệm bao quát un = A1.2n + A2.3n + A3.5nví dụ như 2: Tìm nghiệm un+3 – 7un+2 + 16un+1 - 12un biết u0 = 0, u1 = 1, u2 = -1Bài làm: Pmùi hương trình quánh trưng:λ3 - 7λ2 + 16λ -12 = 0 λ1 = λ2 = 2 cùng λ3 = 3Vậy nghiệm tổng quát un = (A + n.B)2n + C.3n u0 = A + C = 0Có hệ phương thơm trình u1 = 2A + 2B + 3C = 1 u2 = 4(A + 2B) + 9C = -1 A = 5, B = 3 cùng C = -5.Vậy nghiệm riêng biệt vừa ý là un = (5 + 3n).2n – 5.3nlấy ví dụ như 3: Tìm nghiệm un+3 – un = 0Bài làm: Phương trình đặc trưng: λ3 -1= 0 1 i3 λ1 = 1, λ2,3 = 2 = cos3 i.sin3 n. n.Vậy nghiệm bao quát un = A + Bcos 3 + Csin 3 72. Phương trình không đúng phân tuyến đường tính không thuần độc nhất vô nhị cấp cho k hệ số hằngLà pmùi hương trình dạng: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = fn (8)Trong đó a0, a1, …, ak là các số thực, fn 0n.Phương trình thuần tốt nhất khớp ứng ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un = 0 (6).Bổ đề: Nghiệm bao quát của phương thơm trình (8) bằng nghiệm tổng quát của phươngtrình (6) cộng với nghiệm riêng biệt bất kỳ của (8).Chứng minh:Giả sử vn là nghiệm tổng quát của (6) cùng xn là nghiệm riêng rẽ của (8).Đặt un = vn + xn.Ta có: ak.Un+k + ak-1.Un+k-1 + … + a0.Un= ak(vn+k + xn+k) + ak-1(vn+k-1 + xn+k-1) … + a0(vn + xn)= (ak.vn+k + ak-1.vn+k-1 + … + a0.vn)+(ak.xn+k + ak-1.xn+k-1+…+ a0.xn)= 0 + fn = fn un = vn + xn.trái lại hiệu 2 nghiệm riêng rẽ bất kỳ của (8) cũng chính là nghiệm riêng biệt của (6). Vậynghiệm bao quát của (8) bằng nghiệm tổng quát của phương trình (6) cùng vớinghiệm riêng biệt bất kỳ của (8).Cách tra cứu nghiệm riêng biệt xn fn = Pm(n) = bmnm + bm-1nm-1 + … + b1n + b0Trường thích hợp 1:Nếu λ = 1 là nghiệm cấp s của pmùi hương trình đặc trưng ( s có thể nhấn cực hiếm 0) thìnghiệm riêng rẽ tất cả dạng xn= ns(cmnm + cm-1nm-1+…+ c1n + c0) với tìm ci bởi phươngpháp hệ số cô động. Nếu λ = 1 không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng rẽ gồm dạngxn= Cmnm + Cm-1nm-1+…+ C1n + C0 và kiếm tìm Ci bởi phương thức hệ số bất định. fn = Pm(n).βnTrường đúng theo 2: Nếu λ = β là nghiệm cung cấp s của pmùi hương trình đặc thù (s rất có thể thừa nhận cực hiếm 0) thìnghiệm riêng gồm dạng xn= Qm(n).ns.βn, núm vào phương thơm trình search Qm(n) bằng phươngpháp hệ số bất định. Nếu λ = β ko là nghiệm của phương thơm trình đặc thù thì nghiệm riêng có dạngxn= Qm(n).βn, vậy vào phương thơm trình tìm Qm(n) bằng cách thức hệ số bất định. fn = Rl(n) + Pm(n).βnTrường đúng theo 3: Ta kiếm tìm nghiệm riêng biệt dạng xn = x1n + x2n. 8Trong đó x1n là nghiệm riêng biệt ứng cùng với f1(n) = Rl(n) (đem lại trường thích hợp 1) cùng x2n lànghiệm riêng rẽ ứng với f2(n) = Pm(n).βn (đem về ngôi trường vừa lòng 2). 5lấy một ví dụ 1: Tìm một nghiệm riêng rẽ của phương trình un+2 – 2 un+1 + un = n2 + n + 1 5 1Bài làm: Pmùi hương trình đặc trưng λ2 –2 λ+1 = 0 λ1= 2 cùng λ2 = 2 λ = 1 ko là nghiệm ta tra cứu nghiệm riêng rẽ dạng xn= an2 + bn+ cTxuất xắc vào phương trình, ta có: 5a(n+2)2+b(n+2)+c - 2 + an2+bn+c = n2+ n+1. xn = -2n2 + 2n - 10Đồng độc nhất vô nhị hệ số a = -2, b =2 cùng c = -10lấy một ví dụ 2: Tìm một nghiệm riêng của pmùi hương trình un+2 – un = 6n2 + 12n + 8Bài làm: Phương thơm trình đặc trưng λ2 –1 = 0 λ1= 1 cùng λ2 = -1 λ = một là nghiệm solo ta search nghiệm riêng rẽ dạng xn= n(an2+bn+c) x n = n3Ttốt vào phương trình a = 1, b = c = 0 5lấy ví dụ 3: Tìm một nghiệm riêng rẽ của phương thơm trình un+2 – 2 un+1 + un = 3n 5 1Bài làm: Phương thơm trình đặc thù λ2 –2 λ+1 = 0 λ1= 2 cùng λ2 = 2 ta tra cứu nghiệm riêng biệt dạng xn= A.3n λ = 3 ko là nghiệm 5 2 2Tgiỏi vào phương trình, ta có: A.3n+2 - 2 A.3n+1 + A.3n = 3n A = 5 xn = 5 .3n un+2 – un+1 - 2un = -3. 2nlấy một ví dụ 4: Tìm một nghiệm riêng rẽ của phương trìnhBài làm: Phương thơm trình đặc trưng λ2 – λ - 2 = 0 λ1= 2 với λ2 = -1 λ = 2 là nghiệm đối chọi ta search nghiệm riêng biệt dạng xn= A.n.2n 1 -nTtuyệt vào PT, ta có: A(n+2)2n+2 – A(n+1)2n+1 – 2A.n.2n = -3.2n A = - 2 xn = 2 .2nví dụ như 5: Tìm một nghiệm riêng biệt của phương thơm trình 5 un+2 – 2 un+1 + un = n2 + n + 1 + 3n 2Bài làm: Áp dụng ví dụ 1 cùng ví dụ 3 nghiệm riêng rẽ xn = -2n2 + 2n – 10 + 5 .3n6. Ứng dụng của phƣơng trình không nên phân 9